16115-202-29 ทฤษฏีบทปิทาโกรัส

ทฤษฏีบทปิทาโกรัส

ปีทาโกรัส นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกค้นพบว่า ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นหากวาดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้ว  พื้นที่จะเท่ากับด้านประกอบมุมฉาก ซึ่งวาดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตตุรัส ทั้ง2 ด้านรวมกัน

จากรูป abc เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก มี a เป็นด้านตรงข้ามมุม A มี b เป็นด้านตรงข้ามมุม B และมี c เป็นด้านตรงข้ามมุม C จากทฤษฏีบทปิทาโกรัสจะสรุปได้ว่า

c² = a²+b²

แต่ถ้าหากไม่ใช่ละก็ ให้ดูว่า c มากหรือน้อย หาก c² น้อยกว่า a²+b² แสดงว่าเป็นมุมแหลม หากมากกว่า เป็นมุมป้าน แต่ถ้า c=a+b เป็นเส้นตรง

ทฤษฎีบท

     ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และ a,b,c เป็นความยาวของด้านแต่ละด้าน ดังรูป

                      

     ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คือ   a² + b² = c²
     ตัวอย่างการนำความรู้มาใช้แก้ปัญหา
     จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากในแต่ละรูปที่กำหนดต่อไปนี้
     จงหาความยาวของด้านที่เหลือ
                                               
       จากทฤษฎีบทปีทาโกรัส   x² + 5² = 13
                          x² = 169 - 25 = 144            
                          x  = 12

ความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบทปีทาโกรัสกับพื้นที่

     พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมีมุม B เป็นมุมฉาก และให้ความยาวด้านเป็น 3 , 4 และ 5 ดังรูป
                         
     ถ้าสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาโดยมีด้านเป็นความยาวของด้านรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทั้ง 3 ด้าน จะได้รูปดังนี้
                              
   

  สรุป
     ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับ  ผลบวกของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก